1Qué es una fracción (tres significados)
Una fracción como 34 puede leerse de tres maneras distintas. Las tres son correctas, y saber cuál está en juego es la mitad de resolver un problema.
2Equivalencia y simplificación: por qué no cambia el valor
¿Por qué 68 y 34 son el mismo número, si se ven distintos? Mira las dos barras: la superficie pintada es exactamente la misma. Lo que cambió fue el tamaño de las partes, no la cantidad total.
El argumento completo (no es magia)
Simplificar 6/8 es agrupar los octavos de a pares: quedan la mitad de partes, pero cada una es del doble de tamaño. Los dos efectos se cancelan. En símbolos:
Multiplicar (o dividir) por 2/2 es multiplicar por 1, y multiplicar por 1 nunca cambia un número.
¿Cuál es la forma irreducible de 1824?
3Multiplicar fracciones: leer "×" como "de"
Calcular 12 × 13 es preguntar: ¿cuánto es la mitad de un tercio? El modelo de área lo muestra: se pinta un tercio con líneas verticales, luego la mitad con horizontales. La zona con doble pintura es la respuesta.
4Dividir fracciones: ¿cuántas veces cabe?
La lectura correcta de a ÷ b es: ¿cuántas veces cabe b dentro de a? Con esa lectura, dividir por una fracción deja de ser misterioso.
3 ÷ 12 pregunta cuántas mitades caben en 3 enteros. Dibuja 3 barras, parte cada una por la mitad, cuenta: son 6. El resultado es mayor que 3 — mientras más chico el pedazo, más pedazos caben.
De dónde sale la regla del inverso ("multiplicar cruzado")
¿Cuánto es 2 ÷ 14? (piensa: ¿cuántos cuartos caben en 2 enteros?)
5Por qué "se corre la coma" y "se tachan ceros"
Nuestro sistema de numeración es decimal (agrupa de a diez) y posicional (el valor de un dígito depende del lugar donde está). En 347, el 3 no vale 3: vale 300. Cada casilla vale exactamente diez veces la casilla de su derecha, y esa regla no se interrumpe al cruzar la coma.
Y el famoso "tachar ceros" (o "tarjar"): 1000 ÷ 10, arriba y abajo
Cuando calculas 1000 ÷ 10 y tachas un cero arriba y otro abajo, en realidad estás simplificando una fracción — la misma simplificación de la sección 2:
Tachar un cero arriba y otro abajo = dividir numerador y denominador por 10 = multiplicar por 1010 = multiplicar por 1. Por eso el valor no cambia.
Un cero tachado por cada cero del divisor: dividir por 100 tacha dos, por 1000 tacha tres. No es magia notacional: es una simplificación legítima que se ve como un tachado.
¿Cuánto es 4500 ÷ 100?
6Porcentaje: una razón con consecuente 100
Un porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100 (definición oficial del programa). 35 % es la razón 35 : 100, la fracción 35/100 y el decimal 0,35. No son tres cosas parecidas: son tres escrituras del mismo número. El símbolo % es, visualmente, un 100 deformado.
Tabla de equivalencias que conviene memorizar
| Porcentaje | Fracción | Decimal | Atajo mental |
|---|---|---|---|
| 1 % | 1/100 | 0,01 | dividir por 100 |
| 5 % | 1/20 | 0,05 | el 10 % dividido en 2 |
| 10 % | 1/10 | 0,1 | dividir por 10 (correr la coma) |
| 20 % | 1/5 | 0,2 | el 10 % por 2 |
| 25 % | 1/4 | 0,25 | la mitad de la mitad |
| 50 % | 1/2 | 0,5 | dividir por 2 |
| 75 % | 3/4 | 0,75 | la mitad más la mitad de la mitad |
| 100 % | 1 | 1 | el total completo |
| 150 % | 3/2 | 1,5 | el total más su mitad |
- 20 % = el 10 % multiplicado por 2
- 5 % = el 10 % dividido en 2
- 30 % = el 10 % multiplicado por 3
- 15 % = el 10 % más su mitad
7Aplicaciones reales: IVA y descuentos
Los indicadores oficiales del OA 4 mencionan justamente IVA, ofertas y préstamos. Dos herramientas para practicar con precios reales:
Una mochila cuesta $18.000 y tiene 25 % de descuento. ¿Cuánto se paga?